Étude et prévision des ventes

D'après un sujet de bac.

Un magasin d’électroménager vend, depuis le 1^er janvier 2015, des aspirateurs de la marque Aspirtout. Son directeur a fourni les renseignements consignés dans le tableau ci-dessous, dans lequel est précisé le rang \(x_i\) de l’année \(2015+ x_i\).

1. Représenter le nuage de points \(\text{M}_i\) de coordonnées \((x_i~; y_i)\) associé à cette série statistique dans un repère orthogonal. On prendra pour unités graphiques : \(1\) cm pour \(1\) unité sur l’axe des abscisses ; \(1\) cm pour \(50\) unités sur l’axe des ordonnées en commençant la graduation à \(500\).
2. On observe l’aspect du nuage et on choisit pour ajustement affine la droite d’équation \(y = 82x +512\). Tracer cette droite.
3. En utilisant l’ajustement précédent, déterminer graphiquement, puis par le calcul, une estimation du nombre d’aspirateurs que le magasin peut espérer vendre en l’an 2030. 
4. En réalité, on a constaté que, après 2020, les ventes ont progressé régulièrement de \(15~\%\) par an.
    a. Montrer que le magasin a vendu \(1~150\) aspirateurs en 2021.
    b. Combien peut-on estimer qu'il en a vendu en 2022 ? (Le résultat sera arrondi à l'unité près.)
    c. Combien peut-il espérer en vendre dans ces conditions en 2030 ? (Le résultat sera arrondi à l'unité près.)